正弦定理是初中数学中的重要定理之一，它是指：在任意三角形中，每条边的对边长度与它的正弦值成比例。更具体而言，记三角形各边长为a、b、c，对应角为A、B、C，则有公式：$$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$$
证明步骤如下：
第一步：将△ABC分别在边BC和AB上各作一个高，分别得到高BD和高CE。
第二步：连接AD和BE，直线AD和BE相交于点F。显然，△ABD和△AEC都是直角三角形，由正弦函数的定义，可得：
$$sinA=\frac{BD}{c},sinB=\frac{BE}{a}$$
两边同时乘以a×c，得到：
$$a×BD=c×sinA,b×BE=a×sinB$$
第三步：将等式相加得到：
$$a×BD b×BE=c×sinA a×sinB$$$$=a×sinB c×sinA$$$$=2a×sin(\frac{B A}{2})×cos(\frac{B-A}{2})$$
同理，可以得到：
$$b×CF a×AD=b×sinC c×sinB$$$$=b×sinC a×sinB$$$$=2b×sin(\frac{C A}{2})×cos(\frac{C-A}{2})$$
第四步：将第三步和第四步相加得到：
$$a×BD b×CE a×AD b×BE$$$$=2a×sin(\frac{B A}{2})×cos(\frac{B-A}{2}) 2b×sin(\frac{C A}{2})×cos(\frac{C-A}{2})$$$$=2(a×sinB b×sinC)$$$$=2abc÷R$$
其中R是三角形的外接圆半径。
第五步：将第二步的两个式子相除可得：
$$\frac{BD}{BE}=\frac{c··sinB}{a··sinA}$$$$\frac{BD}{BC}·\frac{AC}{BE}=\frac{c}{a}$$$$cosB·cosC=sinA··sinB$$$$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$$
证毕。